O raciocínio aditivo

Nem sempre se pensou que adicionar e subtrair faziam parte do mesmo "saco" de ideias. Esta é uma descoberta, obviamente, que está há muito definida na matemática moderna.

Por exemplo, na definição de "Grupo Aditivo",

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:

1. (S,*) é associativa;
2. (S,*) possui um elemento neutro;
3. Cada elemento nS possui um simétrico mS com relação à operação *.
   
   

Esta ideia de grupo entronca na ideia intuitiva de raciocínio aditivo. Ele é na essência o "juntar" e "separar", ações primordiais da nossa infância e que vão traduzir-se numa representação que se traduz formalmente em dois sinais, o "+" e o "-" mas que estão inevitavelmente ligados pelo fato de serem afinal a operação inversa um do outro, ou de forma mais abstrata como elemento que existe no conjunto dos números.

Vejamos então por etapas como tudo isto vai "crescendo" em abstração:
- Primeiro juntamos e separamos;
- Depois nomeamos os atos que realizamos: acrescentar, retirar, comparar;
- Representamos formalmente esses atos utilizando as operações formais, primeiro, de forma direta, "eu tenho 5 e acrescento mais 3, fico com 8" (5+3=8), "eu tenho 8, retiro 3 e fico com 5"(8-3=5), e depois de forma indireta, "eu tenho alguns, acrescento 3 e fico com 8"(8-3=5).
- É na discussão em torno da forma indireta que surgem os primeiros laços entre as duas formas de representação formal; é também nessa discussão que o sinal formal adquire um estatuto de maior abstração. Ele deixa de ser associado a "mais" ou a "menos" para se coligar a uma forma de pensar. Ele não é uma "ação imediata", não traduz a ação imediata mas sim uma forma formal de representar o processo de adicionar;
- Finalmente, o passo último, ocorre mais tarde, quando se decide que afinal apenas a operação '+' deve existir formalmente na estrutura formal da matemática. Nascem os números negativos, com estatuto próprio e é possível definir um grupo aditivo.