Padrões e mais padrões

Devlin, matemático, disse que "a matemática é a ciência dos padrões".
Mas o que quer dizer essa frase?
A ideia de padrão leva-nos para muitos lugares  e muitas coisas. De fato, é através da repetição, dos padrões que encontramos e que se repetem, que conseguimos nos orientar no mundo em que vivemos. Também dependemos da "repetição" para aprender a estar e a nos comportarmos na sociedade.

Não é pois de estranhar que a matemática seja também ela uma ciência ligada à noção de padrão. Mas ser a ciência dos padrões?

Quando procuramos uma resumir um comportamento, o que fazemos? Por exemplo, há alguém que tem um comportamento menos delicado. Dizemos, "é sempre a mesma coisa. Este sujeito é sempre mal educado". Ou quando chove no dia a seguir, dizemos "pois é. Nos Açores está sempre a chover". Na verdade, o que fazemos é generalizar, partindo de situações que são observadas no dia-a-dia, estabelecendo uma "regra" que passa a estar vinculada a esse ou aquele acontecimento.

Esta forma de "pensar" sobre acontecimentos, que em matemática se designa por indução ou raciocínio indutivo, está relacionado com a descoberta de padrões (neste caso de comportamento de uma pessoa ou da repetição de um estado do tempo) que nos guiam e orientam.

Afinal, o que a matemática faz é procurar estas regras e com uma linguagem formal, usá-las para construir conhecimento.

Há padrões e padrões. O que se repete pode obedecer a um "crescimento" . A ideia é esta:
AB AB AB AB
AB ABAB ABABAB
No primeiro caso o padrão AB repete-se. No segundo a sua repetição é acompanhada por um acrescento de 'AB'.
Vejamos outro caso:
AB ABAB ABABABAB ABABABABABABABAB
Nesta caso, o salto dá-se com a duplicação do número de 'AB's.

Com estas ferramentas simples, a matemática torna-se muito poderosa na explicação de alguns fenómenos, na previsão de outros e até na descoberta de novas relações!

Vejamos um exemplo mais próximo da matemática:
*  **  *** **** ?
O que é que colocavam na posição do "?" ?
Se seguirem a regra, aposto que colocavam cinco estrelinhas.
Como trabalham os matemáticos?
Atribuem a cada uma das posições um número:
1 *
2 **
3 ***
4 ****
…
8 ********
…
Dizemos, por exemplo, que  s(1) =1, s(4)=4 e s(8)=8, ou seja, s(n)=n (a regra).
Conseguimos assim encontrar quantas estrelinhas existem na posição 10 . Quantas? Obviamente 10 - s(10)=10. Como referi, generalizamos escrevendo, para este caso, s(n)=n, em que n é substituido por um número inteiro.
Parece um pouco estranho tanta complexidade para uma coisa tão evidente.
Mas e se a sequência for a seguinte:
* *** ***** ******* ********* ?
Na mesma forma atribuímos números a cada uma das posições:
1 *
2 ***
3 *****
4 *******
5 *********
Agora é mais difícil. Mas com alguma perícia, chegamos a s(n)=2n-1. Ora experimentemos:
s(2) = 4-1=3; s(3)=6-1=5;s(4)=7;etc.