Nem sempre multiplicar significa ficar com mais...

No primeiro ciclo, a primeira experiência com a multiplicação está associada a situações em que quer o multiplicador quer o multiplicando são números inteiros maiores que 1.

O resultado de uma operação de multiplicação a x b em que a é maior que 1 e b é maior que 1 resulta sempre num número maior que a e b.

Mas se algum dos fatores for menor que 1, então o resultado já não vai resultar maior.
Vejamos alguns exemplos:

0,4 * 5 = 2,0
1/2 * 5 = 2,5
2 * 0,9 = 1,8
2 * 0,95 = 1,9

Etc.

Sabemos que é habitual trabalhar problemas nas salas de aula. Será que é fácil encontrar situações problemáticas que correspondam a estas situações?

Elas são diferentes daquelas que inicialmente estão ligadas ao conceito de multiplicação entre números inteiros como, por exemplo, "Existem cinco caixas de seis gelados. Quantos gelados são ao todo?".

Geralmente essas situações estão associadas a situações em que é necessário realizar medições (utilizando as unidades contínuas) ou comprar/vender.

Por exemplo:

1- "Tenho 0,4 metros de um tecido que custa 5 € por metro. Quanto valem esses 0, 4 metros?"
2- "Tenho 5 metros de um tecido. Se cada metro custa 40 cêntimos, quanto custam os 5 metros?"
3- "Tenho 5 tiras de tecido com 0,4 metros cada. Quantos metros tenho de tecido?"
4- "Tenho que dar 40 cêntimos a cada um dos meus cinco amigos. Qual o valor total que tenho que dar?"
5- "Se cada colega comer 40% de uma pizza para duas pessoas, quantas pizzas tenho de encomendar se convidar 5 colegas?"
6- "Vou dar 5 voltas à pista que tem 400 metros. Quantos quilómetros vou correr?"

Estas situações são diferentes.
Aquelas em que somos levados a colocar em primeiro lugar o valor não inteiro, estão habitualmente utilizadas em situações próximas do "sentido partitivo da fração":

É o caso do 1 pois refiro-me a 0,4 do metro que custa 5 €. Na verdade estou a calcular 0,4 de 5€. Poderia também escrever 2/5 de 5€.

Outras situações consideram a unidade que é repetida (na multiplicação há um invariante que corresponde àquele elemento que se repete).

É o caso do 2. A unidade que é repetida é 40 cêntimos. Repetimo-la 5 vezes.

É o caso do 3. A unidade repetida é 0,4 metros.

É o caso do 5. A unidade é 40% de uma pizza. Aqui há um jogo mais complexo, pois o resultado é mais do que uma pizza. Estamos a trabalhar com unidades pizza que se dividem.

É o caso 6 em que a unidade é a pista de 400 metros.

Padrões e mais padrões

Devlin, matemático, disse que "a matemática é a ciência dos padrões".
Mas o que quer dizer essa frase?
A ideia de padrão leva-nos para muitos lugares  e muitas coisas. De fato, é através da repetição, dos padrões que encontramos e que se repetem, que conseguimos nos orientar no mundo em que vivemos. Também dependemos da "repetição" para aprender a estar e a nos comportarmos na sociedade.

Não é pois de estranhar que a matemática seja também ela uma ciência ligada à noção de padrão. Mas ser a ciência dos padrões?

Quando procuramos uma resumir um comportamento, o que fazemos? Por exemplo, há alguém que tem um comportamento menos delicado. Dizemos, "é sempre a mesma coisa. Este sujeito é sempre mal educado". Ou quando chove no dia a seguir, dizemos "pois é. Nos Açores está sempre a chover". Na verdade, o que fazemos é generalizar, partindo de situações que são observadas no dia-a-dia, estabelecendo uma "regra" que passa a estar vinculada a esse ou aquele acontecimento.

Esta forma de "pensar" sobre acontecimentos, que em matemática se designa por indução ou raciocínio indutivo, está relacionado com a descoberta de padrões (neste caso de comportamento de uma pessoa ou da repetição de um estado do tempo) que nos guiam e orientam.

Afinal, o que a matemática faz é procurar estas regras e com uma linguagem formal, usá-las para construir conhecimento.

Há padrões e padrões. O que se repete pode obedecer a um "crescimento" . A ideia é esta:
AB AB AB AB
AB ABAB ABABAB
No primeiro caso o padrão AB repete-se. No segundo a sua repetição é acompanhada por um acrescento de 'AB'.
Vejamos outro caso:
AB ABAB ABABABAB ABABABABABABABAB
Nesta caso, o salto dá-se com a duplicação do número de 'AB's.

Com estas ferramentas simples, a matemática torna-se muito poderosa na explicação de alguns fenómenos, na previsão de outros e até na descoberta de novas relações!

Vejamos um exemplo mais próximo da matemática:
*  **  *** **** ?
O que é que colocavam na posição do "?" ?
Se seguirem a regra, aposto que colocavam cinco estrelinhas.
Como trabalham os matemáticos?
Atribuem a cada uma das posições um número:
1 *
2 **
3 ***
4 ****
…
8 ********
…
Dizemos, por exemplo, que  s(1) =1, s(4)=4 e s(8)=8, ou seja, s(n)=n (a regra).
Conseguimos assim encontrar quantas estrelinhas existem na posição 10 . Quantas? Obviamente 10 - s(10)=10. Como referi, generalizamos escrevendo, para este caso, s(n)=n, em que n é substituido por um número inteiro.
Parece um pouco estranho tanta complexidade para uma coisa tão evidente.
Mas e se a sequência for a seguinte:
* *** ***** ******* ********* ?
Na mesma forma atribuímos números a cada uma das posições:
1 *
2 ***
3 *****
4 *******
5 *********
Agora é mais difícil. Mas com alguma perícia, chegamos a s(n)=2n-1. Ora experimentemos:
s(2) = 4-1=3; s(3)=6-1=5;s(4)=7;etc.

O que é afinal "pedir empréstimo" no cálculo de subtração?

Quando realizamos uma subtração mentalmente, ou seja, através do cálculo mental, somos tentados a "pedir empréstimos"(!) se estivermos subjugados ao algoritmo que aprendemos ainda muito pequeninos.

Na verdade o que fazemos é uma decomposição dos números que permite que, para qualquer operação,  os passos seguidos garantam que o resultado final seja sempre certo (desde que não nos enganemos).

Então vejamos. Quero subtrair 27 a 34. Como fazer? Se formos aficionados do "algoritmo com empréstimo" fazemos o seguinte:
34 = 20 +14
Esta decomposição (que é pouco treinada no primeiro ciclo) dá-nos o necessário para conseguirmos realizar a operação de subtração.
Vou pegar primeiro na parte verde da decomposição:
14 - 7 = 7
Já subtraímos as unidades (7) do número 27 ao 34. O resultado é parcial. Subtraí 7 ao 14 e restou 7.

Falta agora subtrair as dezenas (2) do número 27 ao 34.
20 - 20 = 0
Confuso, não é?
Desta vez pequei na parte "vermelha" da decomposição. Restou 0.

Então o resultado é 7.

Mais um exemplo:
134 - 99  ?

134 = 120 + 14

14 - 9 = 5

120  - 90 = 30

O resultado final é 35.

Bom. Agora pensemos um pouco sobre tudo isto. Será que esta forma de decomposição é a melhor?
É que há outras formas de decompor e há outras formas de pensar sobre a "subtração" que tornam mais fácil para o nosso cérebro chegar a um resultado.

O último exemplo é sem dúvidas um caso desses. Subtrair 99 é subtrair 100 e depois acrescentar 1 (compensação).

Então podemos escrever 134 - 99 = 134 - 100 + 1 = 34 + 1 = 35.

O primeiro exemplo 34 - 27 também pode ser pensado dessa forma. 27 é quase 30. Então 34 - 27 = 34 - 30 + 3 = 4 + 3 = 7.

Há outros exemplos, e todos eles permitem que raciocinemos sobre o número e, como uma caixa de ferramentas, retiremos a ferramenta adequada para resolver o problema. Esta ideia de "caixa de ferramentas" é uma ideia que tem sido explorada na ciência cognitiva, que procura perceber como pensamos e como decidimos.

Subtrair pode servir para treinar o nosso cérebro a pensar os números de forma diferente. Este tipo de treino deve ser realizado no primeiro ciclo para que a noção de grandeza de número se adquira a par do treino e memorização de fatos básicos da matemática.

O raciocínio aditivo

Nem sempre se pensou que adicionar e subtrair faziam parte do mesmo "saco" de ideias. Esta é uma descoberta, obviamente, que está há muito definida na matemática moderna.

Por exemplo, na definição de "Grupo Aditivo",

Um grupo é uma estrutura (S,*), formada por um conjunto não vazio S sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:

1. (S,*) é associativa;
2. (S,*) possui um elemento neutro;
3. Cada elemento nS possui um simétrico mS com relação à operação *.
   
   

Esta ideia de grupo entronca na ideia intuitiva de raciocínio aditivo. Ele é na essência o "juntar" e "separar", ações primordiais da nossa infância e que vão traduzir-se numa representação que se traduz formalmente em dois sinais, o "+" e o "-" mas que estão inevitavelmente ligados pelo fato de serem afinal a operação inversa um do outro, ou de forma mais abstrata como elemento que existe no conjunto dos números.

Vejamos então por etapas como tudo isto vai "crescendo" em abstração:
- Primeiro juntamos e separamos;
- Depois nomeamos os atos que realizamos: acrescentar, retirar, comparar;
- Representamos formalmente esses atos utilizando as operações formais, primeiro, de forma direta, "eu tenho 5 e acrescento mais 3, fico com 8" (5+3=8), "eu tenho 8, retiro 3 e fico com 5"(8-3=5), e depois de forma indireta, "eu tenho alguns, acrescento 3 e fico com 8"(8-3=5).
- É na discussão em torno da forma indireta que surgem os primeiros laços entre as duas formas de representação formal; é também nessa discussão que o sinal formal adquire um estatuto de maior abstração. Ele deixa de ser associado a "mais" ou a "menos" para se coligar a uma forma de pensar. Ele não é uma "ação imediata", não traduz a ação imediata mas sim uma forma formal de representar o processo de adicionar;
- Finalmente, o passo último, ocorre mais tarde, quando se decide que afinal apenas a operação '+' deve existir formalmente na estrutura formal da matemática. Nascem os números negativos, com estatuto próprio e é possível definir um grupo aditivo.

Decimais ou melhor dizendo, racionais fraccionários postivos

Introdução dos decimais

Nos primeiros anos de escolaridade, como refere Cecília Monteiro, a aprendizagem dos conceitos associados à representação de números racionais, através dos numerais decimais é muito importante. Situações como as relatadas por ela, em que alunos de 2º e 3º ciclos referem que 3,19 é maior que 3,5 porque 19 é maior que 5, ou que 2,175 é maior que 4,5 porque o primeiro número tem um maior número de algarismos que o primeiro, mostram a dificuldade de aprendizagem associada a esta representação dos números. Outros exemplos que ela apresenta são: 0,15+10 = 0,25 e  49,09 + 0,01 = 49,010.

Todas estas situações ocorrem num contexto de aprendizagem em que a representação numeral decimal surge desligada de situações problemáticas que façam sentido aos alunos. De facto, tradicionalmente grande parte do tempo de aprendizagem dedicada em redor destes números prende-se com regras de cálculo - uma sintaxe para realizar operações - que não permitem que os alunos adquiram o 'sentido do número decimal' (o valor cardinal e a ordem entre os números, a relação entre as operações entre estes números, a previsão de resultados).

O curriculum do primeiro ciclo, entretanto modificado, convida os professores a trabalhar desde cedo com fracções, associando a metade à representação 1/2 e também à representação 50%. Este é um avanço no sentido em que, partindo do conceito parte-de-todo (parte de um todo) associado à fracção, é possível introduzir a noção de décima (1/10) também como a décima parte uma unidade (note-se que a autora refere, e muito bem, que nesta etapa é importante que os alunos resolvam problemas em que os contextos apresentados envolvam quantidades discretas ou conjuntos discretos, como é o caso do número de tampas, e quantidades continuas ou figuras contínuas, como é o caso de folhas de papel).

Vejamos como a autora sugere que se inicie a aprendizagem dos decimais:

- Dobrando papel e pintando metade da folha. Existem diferentes formas de realizar uma dobragem. Essas diferentes formas devem ser investigadas;

- Dobrando em quatro partes, pintando metade, verificam que pintam duas das quatro partes;

- Utilizando molduras de 10, pedindo para pintar metade, ou um quarto.

Em qualquer dos casos, a representação quer em percentagem, quer em representação em forma de fracção pode ser apresentada desde muito cedo (1º/2º ano do 1º ciclo, por exemplo).

Apresenta em seguida um problema em que 3 sanduíches são divididas por 5 alunos e duas formas de resolução apresentadas pelos alunos. Na primeira, os alunos dividem as 3 sanduíches em metade, obtendo 6 metades. Partilham uma metade por cada um dos 5 alunos sobrando 1 metade. Essa última metade é por fim dividida em 5. Qual é o resultado? O resultado é 1/2 mais 1/5 de 1/2 que é 1/10. Na segunda forma, os alunos dividem cada sanduíche em 5 partes, obtendo 15 partes. Cada aluno fica com 3 partes, ou seja, o resultado final é que cada aluno obtém 3/5 da sanduíche.

Os dois problemas põem em evidência as diferentes formas de representar a mesma quantidade utilizando os números fraccionários. No primeiro caso 1/2+1/10 e no segundo 3/5. É sugerido, para o primeiro caso, que se encontre o número de décimas partes da sanduíche. Basta para isso que se encontre o número de décimas que corresponde a uma meia sanduíche, que é 5/10. No outro caso, é sugerido que se utilize a máquina de calcular (se ainda não abordaram o algoritmo da divisão), para calcular 3:5. Ambos resultam em 0,6. 

Estamos perante uma situação que deverá ser discutida na sala de aula. E que provavelmente outro tipo de problemas poderão levar a que os alunos encontrem resposta para dúvidas que possam surgir nestas transformações. 

Parece-me essencial, por exemplo, explorar a ideia de que podemos representar de formas diferentes metade (1/2, 2/4, 3/6). Por outro lado, o registo do resultado utilizando diferentes fracções permite tornar mais fácil a resolução dos problemas apresentados em cima. Por exemplo, podemos pedir que os alunos pintem metade de uma figura que está divida em 10 parte e se peça para que apresentem em forma de fracção o resultado respondendo às questões:

- Quantas meias partes pintaste?

- Quantas décimas partes pintaste?

O mesmo se pode fazer agora representando rectângulos, divididos de formas diferentes. 

No documento em análise é ainda apresentado o seguinte problema: "Numa festa havia 23 chocolates iguais para distribuir igualmente por dez crianças. Com que porção de chocolate ficou cada uma?"

Esta é uma situação em que o resultado é maior que a unidade. Interessa que os alunos percebam que quando se trata de dividir em partes, podemos obter mais do que uma unidade (neste caso a unidade é o chocolate).

Voltando à proposta dos rectângulos, somos levados a construir situações onde pode existir mais do que um rectângulo.

Por exemplo, apresentando 3 rectângulos, pedir para que os alunos pintem metade.
Podemos perguntar em seguida, quanto é que tiveste de pintar? A resposta deveria ser, um rectângulo e meio. É preciso que eles registem o resultado em número de rectângulos!
Chegamos à situação das sanduíches.


 Mais difícil é colocar dois rectângulos divididos cada um em 3 parte e pedir que pintem metade (porque razão esta é mais difícil?).

Etc.

A mudança da unidade e a reconstrução da unidade

Um dos aspectos a ter em conta, no ensino dos números fraccionários é a questão da unidade. A autora exemplifica: Metade de uma folha A3 não é o mesmo que metade uma folha A4. Também se a Maria gastou 0,1 da sua mesada na compra de livros e o João gastou 0,3, não se pode saber quem gastou mais, se não se souber os valores das mesadas.

Isto quer dizer que associado ao conceito de fracção existe o conceito de unidade, e que esta noção implícita, deve ser trabalhada de forma explícita.

Um tipo de tarefa que pode favorecer esta aprendizagem é a recontrução da unidade a partir de parte da unidade.

Num papel quadriculado pode-se representar 0,5 associado a 15 quadrados (um rectângulo 3x5), enquanto 0,2 associado a 8 quadrados (um rectângulo 1x8). Rapidamente nos apercebemos que, para cada um dos casos, a unidade é diferente. Uma unidade para o primeiro caso pode corresponder a um rectângulo 6x5=30 quadrados, e no segundo caso, 5x8=40 quadrados.

O modelo rectangular

A introdução das centésimas pode ser feito através da utilização do modelo rectangular. O modelo de 10x10, para representar as décimas e as centésimas é muito versátil, porque permite:

- Representar de forma diferente. Por exemplo, 25 centésimas é um quarto dos quadradinhos pintados, mas eles podem ser pintados nas mais variadas formas;

- Associar o valor da décima à centésima. Por exemplo, comparar quantas centésimas são 2 décimas e verificar se 25 centésimas são mais que 2 e menos que 3 décimas;

A linha numérica

A linha numérica simples e a linha numérica dupla permitem a compressão existentes entre os números mas também entre as diferentes formas de representação. Por exemplo, no caso da linha numérica dupla, podemos representar trinta minutos (sistema sexagesimal) em baixo, enquanto em cima representar metade de uma hora (1/2h).

In Monteiro, C. "Dos números inteiros aos decimais: um percurso complexo, mas possível, no desenvolvimento do sentido de número", Ensinar e Aprender Matemática no 1º ciclo, Texto Editores, 2007. 

Formação de Conceitos e Campos Conceptuais

Para Vergnaud, o sentido de conceito está associado fortemente à actividade de resolução de problemas. É nesse contexto que o aluno pode desenvolver a sua compreensão do sentido inicial dos conceitos e teoremas matemáticos. Mesmo admitiundo a intenção de alcança rum nível mais avançado de abstração, os probkemas constituem -se como etapa inicial para lanlar as bases do conhecimento.

Segundo Vergnaud, "um conceito é uma tríade que envolve um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; um conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito e um conjunto de significantes que podem representar os conceitos e as situações que permitem compreendê-los"

O conhecimento assume uma forma adaptativa, que carateriza a passagem do saber quotidiano ao saber escolar e do escolar para o científico.

O desafio passa portanto por estudar estratégias que possam contribuir para a transformação do saber quotidiano para um saber escolar preparando o caminho para o plano da ciência. 

O desafio, no processo de aprendizagem de um conceito, parece estar na identificação de invariantes referentes ao conceito principal.

(In Didáctica da Matemática - Uma análise da influência Francesa de Luiz Carlos Reis)

Comentários: O conceito de invariante, parece-me a mim, é mais complexo, mas no livro é apenas referido como a ideia que congrega um conjunto de situações. Recordo, por exemplo, o conceito de raciocínio multiplicativo. O que congrega as situações em torno deste conceito, é o facto de existir um invariante, que corresponde ao "número constante de objectos" que formam os conjuntos que representam as situações de partilha ou de relação de um-para-muitos.

Pascal escreve: "Já não temos, como antigamenteo, alunos que, fora da escola - por terem aí um meio rico e propenso à leitura e discussão - constroem um referencial que permite a conceptualização. Logo implica que a escola tem de fornecer os instrumentos que permitam tal construção. E este trabalho é muito necessário."

E cita Vergnaud: "Na  maioria das actividades, a vida só oferece um pequeno número de casos entre os problemas possíveis. Além disso, nas situações habituais da vida, os dados pertinentes estão imersos num conjunto de informações pouco ou nada pertinentes, sem que sejam sempre claramente expressas as perguntas que podem ser feitas. Desta forma, o tratamento destas situações supõe ao mesmo tempo a identificação das questões e também das operações a fazer para lhes poder responder. Isto convida à análise, mas não é fácil começar pelas situações da vida para estabelecer uma classificação sistemática". 

Pascal acrescenta: "Contudo, não entendamos a partir destas palavras de Vergnaud que, por não ser fácil começar pelas situações da vida, não faz sentido contextualizar os processos de aprendizagem em situações mais do quotidiano e das vivências dos alunos,ou partir destas para saberes mais abstractos e mais estruturados, antes pelo contrário. Desta forma, a construção de conceptualizações matemáticas ganha outro significado e valor."

Vergnaud chama a atenção para os "teoremas-em-acto" ou "teoremas-em-acção", que "são estes elementos que permitem a realização da seleccção da informação mais relevante e o seu posterior tratamento, ou seja, orientam e organizam o actuar da crianças sobre o real. Os teoremas-em-acção têm , assim, a ver com as proposições consideradas como verdadeiras pelo sujeito, proposições estas que que permitem tratar a informação como adequadas ao real. Eles sugem da actividade espontânea e intuitiva da crianação e podem ser considerados como uma forma de conhecimento ligado à acção. Têm uma natureza implícita e por isso, num determinado momento, do desenvolvimento, não são expressos sob uma forma matemática."

Pascal acrescenta sobre a ideia de Vergnaud:"Os teoremas-em-acção começam a transformar-se em teoremas à medida que a criança vai sendo confrontada com uma diversidade de situações-problemas, de procedimentos e de representações empíricas. A criança vai progressivamente descobrindo as propriedades dos conceitos, os invariantes começam a ficar mais explícitos e a relação entre o significado e o significante fica cada vez mais clara."

É nesta transformação que "reside um dos problemas de ensino. Podem existir conhecimentos que foram apreendidos e que as crianças não conseguem aplicar quando resolvem problemas concretos e, noutros casos, a criança constrói espontaneamente conhecimentos operatórios que não se convertem em verdadeiros enunciados." Ou seja, existe um processo de abstracção implícito à resolução formal que não estabelece ligações com teoremas-em-acção que a criança construiu "espontaneamente".

Pascal refere ainda que Vergnaud considera que os processos cognitivos e as respostas dos sujeitos são funções das situações com as quais são confrontados, pelo que, considera importante:

- A ideia de variedade - é necessário criar um sem-número de situações a partir de acontecimentos do dia-a-dia;

- A ideia da história - é necessário acompanhar a par e passo a história de aprendizagem do aluno na sua aprendizagem de forma a que se possam reformular as situações de forma a que se tornem perceptíveis para ele.

(In Didáctica Experimental da Matemática, Pascal Paulus)

Comentários: Apostando nas situações contextualizadas no dia-a-dia, podemos partir para conceptualizações que estabeleçam a ligação com o que as crianças já sabem, nos tais "teoremas-em-acção". A tarefa seguinte parece depois ir construindo conhecimento, organizando as diversificadas situações trabalhadas de forma a sintetizar a informação, e torná-la conhecimento. A descoberta dos "invariantes" fazem-se neste processo orientado para fins que são estabelecidos nos curricula das disciplinas, e que, quero eu interpretá-lo, como "conhecimento científico".